Legi de compoziție și element neutru
Verifică stabilitatea, comutativitatea, asociativitatea și neutralitatea unei legi.
Idei de reținut
O lege internă pe M asociază oricărei perechi din M un rezultat tot din M. Stabilitatea mulțimii este prima condiție: scăderea nu este lege internă pe numerele naturale, deoarece 1 − 2 nu este natural.
Comutativitatea cere x ∗ y = y ∗ x pentru orice x,y. Asociativitatea cere (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) pentru orice triplet. Demonstrația prin expresii generale este diferită de verificarea câtorva valori dintr-un tabel.
Un element neutru e verifică x ∗ e = e ∗ x = x pentru toate x. Poate fi diferit de zero sau de unu, în funcție de lege. Laboratorul modular afișează tabele pe clase de resturi; legea pe ℝ din exemplu este justificată algebric, nu de acel tabel finit.
Formula sau relația folosită
e neutru ⇔ ∀x, x ∗ e = e ∗ x = x; asociativitate: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Exemplu rezolvat
Pentru x ∗ y = x + y + 1 pe ℝ, verifică asociativitatea și află simetricul lui 3.
Pas cu pas
- (x ∗ y) ∗ z = x + y + z + 2 și x ∗ (y ∗ z) are aceeași expresie.
- Neutrul este −1, deoarece x ∗ (−1) = x.
- 3 ∗ y = −1 dă 3 + y + 1 = −1, deci y = −5.
Răspuns: Lege asociativă; simetricul lui 3 este −5.
Pentru x ∗ y = x + y + 2 pe ℝ, calculează 3 ∗ 4.
Întrebare de reflecție
De ce trebuie verificată stabilitatea înainte să numești o expresie „lege internă pe M”?