Sisteme: soluție unică sau caz singular
Rezolvă sisteme 2×2 prin Cramer și distinge cazurile fără soluții sau cu infinit de soluții.
Idei de reținut
Un sistem liniar se poate scrie AX = B, cu vectorul necunoscutelor X. Dacă det A ≠ 0, sistemul pătratic are soluție unică. Regula lui Cramer înlocuiește pe rând o coloană a coeficienților cu termenii liberi.
Pentru două necunoscute, x = Δx/Δ și y = Δy/Δ. Formula nu se folosește la Δ = 0. Atunci comparăm ecuațiile sau eliminăm necunoscutele: o contradicție precum 0 = 1 înseamnă incompatibilitate.
Dacă ecuațiile se reduc la aceeași relație și rămâne o variabilă liberă, există infinit de soluții. Geometric, două drepte pot fi secante, paralele distincte sau coincidente. Determinantul zero nu decide singur care dintre ultimele două cazuri apare.
Formula sau relația folosită
Δ ≠ 0 ⇒ x = Δx/Δ, y = Δy/Δ; Δ = 0 ⇒ analiză separată
Exemplu rezolvat
Rezolvă x + y = 5, 2x − y = 1.
Pas cu pas
- Δ = det [[1,1],[2,−1]] = −3.
- Δx = det [[5,1],[1,−1]] = −6; Δy = det [[1,5],[2,1]] = −9.
- x = 2, y = 3; verificăm 2 + 3 = 5 și 4 − 3 = 1.
Răspuns: (x,y) = (2,3).
În sistemul x + y = 7, x − y = 1, cât este x?
Întrebare de reflecție
Poți construi două sisteme cu aceeași matrice singulară, unul incompatibil și unul nedeterminat?