Mulțimi, factori primi și divizori comuni
Folosește operații cu mulțimi și descompunerea în factori primi pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Idei de reținut
O mulțime se poate descrie enumerând elementele sau printr-o proprietate. Elementele repetate se scriu o singură dată; cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor distincte.
Reuniunea conține elementele din cel puțin una dintre mulțimi, intersecția pe cele comune, iar diferența A\B pe cele din A care nu sunt în B. Mulțimea numerelor naturale este infinită.
Descompunerea unui număr mai mare decât 1 în produs de puteri de numere prime permite identificarea divizorilor. 60 = 2² × 3 × 5.
C.m.m.d.c. folosește factorii primi comuni cu exponenții minimi; c.m.m.m.c. folosește toți factorii cu exponenții maximi. Două numere cu c.m.m.d.c. egal cu 1 sunt prime între ele.
Dacă d divide două numere, divide și suma sau diferența lor naturală. Relația de divizibilitate este tranzitivă; pentru numere pozitive, produsul c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. este produsul numerelor.
Dacă d divide produsul ab și d este prim cu a, atunci d divide b. De exemplu, dacă 3 divide 2b, factorul 2 nu furnizează un factor 3, deci acesta trebuie să fie în b; ipoteza de primalitate între ele este esențială.
Formula sau relația folosită
(a,b) × [a,b] = a × b, a,b > 0
Exemplu rezolvat
Află c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru 24 și 36.
Pas cu pas
- 24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3².
- Factorii comuni cu exponenți minimi dau 2² × 3 = 12.
- Exponenții maximi dau 2³ × 3² = 72; verificăm 12 × 72 = 24 × 36.
Răspuns: C.m.m.d.c. = 12; c.m.m.m.c. = 72.
Care este cardinalul reuniunii {1, 3, 5} cu {3, 5, 7}?
Întrebare de reflecție
Când cere o problemă un divizor comun și când un multiplu comun?