Radicali, aproximări și operații
Simplifică radicali, compară reale și raționalizează numitori simpli.
Idei de reținut
Rădăcina pătrată √a este numărul nenegativ al cărui pătrat este a, pentru a ≥ 0. De aceea √[(−3)²] = 3, nu −3.
Numerele iraționale nu se exprimă ca fracții de întregi. Împreună cu raționalele formează reale, cu incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Un factor pătrat perfect poate ieși de sub radical: √72 = √(36 × 2) = 6√2. Invers, un factor pozitiv poate fi introdus sub radical prin ridicare la pătrat.
Adunăm radicali asemenea după simplificare, iar pentru produse folosim √a × √b = √(ab), când a,b ≥ 0. Modulul unui real păstrează sensul de distanță pe axă.
Raționalizarea unui numitor de forma a√b înmulțește numărătorul și numitorul cu √b, pentru b > 0. Aproximările se fac la final și nu înlocuiesc identitățile exacte.
Operațiile cu reale respectă aceleași priorități și paranteze ca cele cu raționale. Pentru a ≠ 0 și n natural, a⁻ⁿ = 1/aⁿ; de exemplu, (√2)⁻² = 1/2. La √a/√b = √(a/b) cerem a ≥ 0 și b > 0, iar radicalul nu se distribuie la o sumă.
Formula sau relația folosită
√72 = 6√2; 1/√2 = √2/2
Exemplu rezolvat
Simplifică √50 + √8.
Pas cu pas
- √50 = √(25 × 2) = 5√2.
- √8 = √(4 × 2) = 2√2.
- Adună coeficienții radicalilor asemenea: 7√2.
Răspuns: Rezultatul exact este 7√2.
În forma simplificată √98 = k√2, cât este k?
Întrebare de reflecție
Când putem păstra un rezultat exact cu radical și când avem nevoie de aproximare?